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1为什么等于0.99999....

导语:初一看,这个等式貌似不会成立,0.9999....给人的第一感觉该是无限接近于1、但应该比1小。 这其实是一个被反复提起的数学问题,尤其是在中国各大网络社区 ...
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[科普常识] 1为什么等于0.99999....

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古晋分享站:1为什么等于0.99999....    

初一看,这个等式貌似不会成立,0.9999....给人的第一感觉该是无限接近于1、但应该比1小。

这其实是一个被反复提起的数学问题,尤其是在中国各大网络社区中。接下来的问题是:这个等式为什么成立?在什么情况下能成立?如何证明它?

首先,我们来看看网上流传的三种证明法。

最简单的三种……

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直接来看看这三种证明吧:

1、∵1/3=0.33333...

3X0.33333..=0.99999...

3X1/3=1

∴0.99999...=1

2、令0.99999...为A

10A=10X0.99999...=9.9999...

两边都减去一个A

9A=9.99999...-0.99999...

可以得出:9A=9

两边除以9得出:A=1

∴0.99999...=1

3、0.99999...=0.9+0.09+0.009+0.0009……

很明显,右侧是一个求和的无穷递降等比数列。

回忆一下等比数列求和公式:Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)

而当n趋向于无穷大时,求和公式S=a1/(1-q)

∴0.99999...=0.9/(1-0.1)=0.9/0.9=1

当然,这三种方式都不严谨,只是为了便于让大家理解。例如,第二种方式就是大卫·福斯特·华莱士在他的《Everything and More》一书中给出的。

这个方法迅速被打脸。数学家威廉姆斯·拜尔在《How Mathematicians Think》中评价这个证明:“0.999...既可以代表把无限个分数加起来的过程,也可以代表这个过程的结果。许多学生仅仅把0.999...看作一个过程,但是1是一个数,过程怎么会等于一个数呢?这就是数学中的二义性?他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生,可能还没有真正懂得无限小数的含义,更不用说理解这个等式的意义了。

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至于靠谱的证明法,由于实在是超纲太多,我就不一一说了(我会告诉你,那些证明过程我看了很懵、完全木有看懂吗?)

不过说起来,第三个方法中其实已经用到了极限,所以要理解这个等式,需要先了解下极限。

什么是极限?

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百科的解释,“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念,广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

数学中的“极限”指:某一个函数中的某一个变量,此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中,逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”(“永远不能够等于A,但是取等于A已经足够取得高精度计算结果)的过程中,此变量的变化,被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”(当然也可以用其他符号表示)。

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请注意:“取等于A已经足够取得高精度计算结果”。

所以,按照极限的定义,0.99999..这个无限小数的极限应该就是1。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:

对于被考察的未知量,先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量,确认此变量通过无限变化过程的“影响”趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量;用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

重要的事情说三遍:用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果、用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果、用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果

请相信,用极限的思想方法是有科学性的,因为可以通过极限的函数计算方法得到极为准确的结论。

所以,总而言之一句话,你就只需要知道0.99999….=1就好了。

来源:网易科技  作者 | 平章

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